Mi interpoláció

Interpoláció - ez a módszer a megállapítás a köztes érték értékek, amelynek diszkrét sor ismert értékek.

Az interpoláció értékét használja a függvény definiált számos ponton megjósolni az értéke egy függvény között. A következő módszerek célja, hogy hozzon létre egy sor nagyobb frekvenciával alapuló megfigyelések száma alacsony frekvenciájú. Például, hogy kiszámítja a száma negyedévenként dinamika alapján egy sor az éves adatok.

Tegyük fel, hogy a rendszer különböző pont xi (i £ 0, 1, ..., N) egy bizonyos régió G. Az értékek az f függvény ismert csak ezeken a pontokon: yi = f (xi), ahol i = 1, ..., N.

Az interpolációs eljárás abból áll, találni egy f függvény egy adott osztály műveleteit, hogy F (xi) = yi. i = 1, ..., N.

Point xi interpolációs pontokat, és azok set - interpoláció rács.

Pár (xi, yi) az adatpontok (referencia pont).

A különbség a „szomszéd” értékek Δ xi = xi - xi - 1 - úgynevezett lépésben interpolációs rács. Lépés lehet változó vagy állandó.

A F (x) - interpolációs függvény (interpolant).

lineáris interpoláció

Amikor lineáris interpolációval adatok meglévő M pont (xi. Yi) (i = 0, 1 n) vannak összekötve, egyenes vonalak, és az f (x) megközelíti a sokszög csúcsai ezeken a pontokon.

Egyenlet egyes szegmenseinek a vonallánc általában különbözik. Mivel n időközönként (XI. Xi + 1), minden egyes őket, mint a polinom-interpoláció használt egyenlet egyenes egyenlete áthaladó két pontot. Különösen az i-edik intervallum írhat egyenes egyenlete ponton áthaladó (xi yi.) És (xi + 1, yi + 1) a következő formában:

geometriai interpoláció

Amikor geometriai interpolációt értékeket kapott dinamikája érték arányos a növekmény, és fordítottan arányos a tényező alapján számított A növekmény. A növekedési ráta exponenciálisan függ a logaritmusát a relatív növekedése a forrás hangszórók szorozva a hossza az ebből eredő dinamika időszakban.

Tekintsük a elvét geometriai számítási módszert például negyedéves adatok alapján április

X [t] - adatforrás adatok;

Ebből következik:

Interpoláció, a többi hangszóró végezzük hasonló módon.

Spline interpoláció

Splines hatékonyan megoldani a problémát a feldolgozás kísérleti függőségeket a paraméterek között, amelynek meglehetősen bonyolult szerkezet. A legkiterjedtebb gyakorlati használatra, mivel az az egyszerűség, talált köbös spline. A alapgondolata az elmélet a köbös spline kialakítva kísérletek eredményeként matematikailag leírni a rugalmas lécek a rugalmas anyag (mechanikai spline), amely már régóta használják a fogalmazók azokban az esetekben, ahol nem volt szükség a alapérték kellően sima görbe. Köztudott, hogy a rake egy rugalmas anyag, fix bizonyos pontokon, és amely az egyensúlyi helyzet, akkor olyan formát vesz fel, ami az energia minimális. Ez az alapvető tulajdonság lehetővé teszi a hatékony felhasználását spline gyakorlati problémák megoldására a kísérleti adatok feldolgozása.

Általánosságban, egy függvény y = f (x) van szükség, hogy megtalálja egy közelítés y = φ (x) úgy, hogy az F (xi) = φ (xi) a pontok x = xi. és más pontok a szegmens [a, b] függvények értékeit az f (x) és φ (x) közel voltak egymáshoz. Amikor egy kis adatpontok száma (például 6-8) megoldás a problémára, interpolációs eljárás építésének interpolációs polinomok. Azonban a nagy csomópontok száma interpolációs polinomok vált gyakorlatilag használhatatlan. Ez annak a ténynek köszönhető, hogy a polinom foka interpoláció csak egy kisebb, mint a számos kísérleti függvények értékét. Lehetőség van, természetesen, a szegmens, amelyben a funkció határozza meg, részekre osztva, amely tartalmaz egy kis számú adatpontot, és ezek mindegyikére építésére interpolációs polinomok. Azonban, ebben az esetben, a közelítő függvény lesz a pont, ahol a származék nem folyamatos, azaz függvény grafikonján tartalmazni fog egy „megtörés” pontot.

Cubic spline azzal a hátránnyal. Kutatási gerenda elmélet azt mutatták, hogy a hajlékony, vékony nyaláb két csomópont között köbös polinom illeszkedik elég jól, és mivel nem elpusztult, a közelítő függvény legalább egy folyamatosan differenciálható. Ez azt jelenti, hogy a funkció φ (x). φ „(x). φ '' (x) folyamatos legyen az [a, b].

Spline interpoláció megfelelő ezt a funkciót, f (x) és az adatokat csomópontok xi. az S (X), kielégíti a következő feltételeket:

minden egyes szegmens [xi -1. xi], i = 1, 2 n S (x) polinom a harmadik fokozat;

a S (X), és az első és második származékok folytonos az [a, b];

Minden egyes intervallumok [xi -1. xi], i = 0, 1 n az S (X) = Si (x) egy többtagú a harmadik fokozat:

Feltételek folytonossága minden származéka legfeljebb másodrendű írott formában:

ai, bi, ci, di - spline együtthatók meg kell határozni az összes n elemi intervallumok:

Ha az f (x) egy polinom harmadik fok vagy kevesebb, további adatokra van reprodukált pontosan mikor a spline peremfeltételek c 0 és cn a pontos értékét a második származék egy kocka alakú polinom.

Lagrange interpoláció polinomja

Lagrange interpolációs polinom - ez a polinom minimális mértékben, amely megkapja az adatokat értékek egy adott ponthalmaz. Az n + 1 pár egész számok (x 0, y 0), (x 1, y 1), ..., (Xn, Yn), ahol a különböző xi (i = 0, 1 n), létezik egy egyedülálló polinom L (x ) a-nél kisebb fokú n. amelyre L (xi) = yi.

A legegyszerűbb esetben (n = 1) - egy lineáris többtagú és annak grafikon - a vonal áthaladó két adott pont.

Lagrange javasolt számítási módszere ilyen polinomokat:

Amennyiben alapján polinomok határozzák meg a következő képlet:

lj (x) a következő tulajdonságokkal:

polinomok fokú N;

Ebből az következik, hogy az L (x), lineáris kombinációjával LJ (x), lehet egy foka nem több, mint n. és L (xj) = yj.

polinom-interpoláció

Polinom-interpoláció a legismertebb egydimenziós interpolációs technikák. Előnye a könnyű végrehajtását, valamint a jó minőségű a interpolants.

Ez a módszer jelentése n-ed-fokú polinom P 0, 1, ..., n -1, n. áthaladó n pontot (0-edik n -edik) függvényében két polinom n -1-ed-fokú a következő képlet segítségével:

Ahhoz, hogy ezek a polinomok rekurzív ugyanezt a képletet, amíg nem kap polinomok Pi. számítják az alábbi képlet szerint Pi = yi.

A módszer előnye a könnyebb megvalósítás hiánya, - viszonylag alacsony sebesség.

egységes interpoláció

Az érték az eredeti sorozat elosztjuk a megfigyelések száma csökkenő az egyik időszakban a kapott számot. Az így kapott érték van hozzárendelve az összes megfigyelések az új sorozat, egyetlen időszakban.

re interpoláció

Az értékek az eredeti sorozat megfigyelések ismétlődnek számos nagyobb frekvenciájú hangszóró.

interpoláció minta

Hagyja bemenet - a bemenet számát, Output - kimenet számát, Pattern - sablon számát. Legyen t az aktuális dátum beviteli sorban és n - a kimenet számát pontsorozattal az egyik időszakban.

Nézzünk három interpolációs eljárás egy sablon:

az átlag az elemek

Az első elem