Kiszámítása határozott integrálok
Az ingatlan a határozott integrál:
1) Ha a $ f (x) \ geq $ 0 intervallumban $ [a, b], $ akkor a $ \ int \ limits_a ^ bf (x) dx \ GEQ 0. $
2) Ha a $ f (x) \ Leq g (x) $ a $ [a, b] $ jelentése $ \ int \ limits_a ^ bf (x) \, dx \ leq \ int \ limits_a ^ bg (x) \, dx. $
4) Ha a $ f (x) $ folytonos $ [a, b], \, \, m - $ legkisebb, $ M - $ legnagyobb értéke $ f (x) $ a $ [a, b], $ majd $ $ m (ba) \ leq \ int \ limits_a ^ bf (x) \, dx \ leq m (ba) $$ (tétel értékeléséről szóló határozott integrál).
5) Ha a $ f (x) $ folytonos és $ g (x) $ integrálható $ [a, b], \, \, g (x) \ geq 0. $ $ m $ és $ M - $ legkisebb és legnagyobb értéke $ f (x) $ a $ [a, b], $ majd $$ m \ int \ limits_a ^ bg (x) \, dx \ leq \ int \ limits_a ^ bf (x) g (x) dx \ Leq M \ int \ limits_a ^ bg (x) \, dx. $$ (generalizált tétel a értékelés egy határozott integrál)
6) Ha a $ f (x) $ folytonos $ [a, b], $ akkor létezik egy pont $ c \ az (a, b), $, hogy az egyenlőség $$ \ int \ limits_a ^ bf (x) dx = f (c) (ba). $$ (középérték tétel)
Száma $ f (c) = \ frac \ int \ limits_a ^ bf (x) \, dx $ úgynevezett átlagos értéke a függvény $ f (x) $ intervallumban $ [a, b]. $
7) Ha a $ f (x) $ folytonos és integrálható a $ [a, b] $ és $ g (x) \ geq 0 $ létezik egy pont $ c \ az (a, b), $, hogy az egyenlőség $ $ \ int \ limits_a ^ bf (x) g (x) dx = f (c) \ int \ limits_a ^ bg (x) dx $$ (generalizált középérték-tétel).
9) Az integráció a páros és páratlan funkciók szimmetrikus tartományban. Ha a függvény $ f (x) $ páros, akkor $ \ int \ limits_ ^ af (x) dx = 2 \ Int \ limits_0 ^ af (x) dx. $ Ha a funkció $ f (x) $ páratlan, akkor $ \ int \ limits_ ^ af (x) dx = 0. $
10) Ha a függvény $ f (x) $ folytonos $ [a, b], $ egybeépített változó felső határ $$ \ Phi (x) = \ int \ limits_a ^ xf (t) dt $$ egy primitív függvény $ f (x), azaz $ $$ \ Phi '(x) = (\ int \ limits_a ^ X f (t) dt)' = f (x), \ quad x \ az [a, b]. $$
11) Ha a függvény $ \ Phi (x) $ és $ \ psi (x) $ differenciálható $ x \ (a, b) $ és $ f (t) $ folyamatos a $ \ Phi (a) \ leq t \ Leq \ psi (b), $ majd $$ \ left (\ int \ limits_ ^ f (t) dt \ right) _x '= f (\ psi (x)) \ psi' (x) -f (\ phi (x)) \ phi „(x). $$
6,364. a) Határozza meg az integrál jel, hogy nem számol a következő: $ \ int \ limits_ ^ 1 \ sqrt [3] \, dx $.
Mivel a függvény $ \ sqrt [3] x $ páratlan $ (\ sqrt [3] = - \ sqrt [3] X), $ Ezután, a 9-m tulajdonság beolvassa $ \ int \ limits_ ^ 2 \ sqrt [3] \ , dx = 0. $ most használja a egyenlőséget $$ \ int \ limits_ ^ 1 \ sqrt [3] \, dx = \ int \ limits_ ^ 2 \ sqrt [3] \, DX \ int \ limits_ ^ 2 \ sqrt [ 3] \, dx = - \ int \ limits_ ^ 2 \ sqrt [3] \, dx $$.
Nyilvánvaló, $ \ sqrt [3] x> 0 $ A $ x \ in [1, 2]. $ Ezért, az első tulajdonságait határozott integrálok következik, hogy $ \ int \ limits_ ^ 2 \ sqrt [3] \, dx> 0. Következésképpen $, $$ \ int \ limits_ ^ 1 \ sqrt [3] \, dx = - \ int \ limits_ ^ 2 \ sqrt [3] \, dx<0.$$
6,365. b) kiszámítása nélkül integrálok, megtudja, melyik az integrál $ \ int \ limits_1 ^ 2 \ frac $ vagy $ \ int \ limits_1 ^ 2 \ frac. $
Mi használjuk a második tulajdonság határozott integrálok. A szegmens $ [1, 2] $ kielégíti az egyenlőtlenséget $ \ frac \ geq \ frac $ ennek ellenőrzésére: .. $$ \ frac \ geq \ frac \ Rightarrow x ^ 3 \ geq x ^ 2 \ Rightarrow x \ geq1 $$ Következésképpen , $$ \ int \ limits_1 ^ 2 \ frac \ geq \ int \ limits_1 ^ 2 \ frac. $$ szigorú egyenlőtlenség könnyen bevezetésével kapott összegeként definiáljuk az integrálok $$ \ int \ limits_1 ^ 2 \ frac = \ int \ limits_1 ^ \ frac + \ int \ limits_ ^ 2 \ frac; $$ $$ \ int \ limits_1 ^ 2 \ frac = \ int \ limits_1 ^ \ frac + \ int \ limits_ ^ 2 \ frac $$ On $ [1, 3 /. 2] $, az egyenlőtlenség $$ \ frac \ geq \ frac \ Rightarrow \ int \ limits_1 ^ \ frac \ geq \ int \ limits_ ^ 2 \ frac; $$ a szegmens $ [3/2, 2] $, az egyenlőtlenség $$ \ frac> \ frac \ Rightarrow \ int \ limits_1 ^ \ frac> \ int \ limits_ ^ 2 \ frac. $$ Ezért, $$ \ int \ limits_1 ^ 2 \ frac = \ int \ limits_1 ^ \ frac + \ int \ . limits_ ^ 2 \ frac> \ int \ limits_1 ^ \ frac + \ int \ limits_ ^ 2 \ frac = \ int \ limits_1 ^ 2 \ frac $$ Válasz: $ \ int \ lim its_1 ^ 2 \ frac> \ int \ limits_1 ^ 2 \ frac. $
6366. c) Mekkora az átlagos értéke a függvény egy adott intervallum: $ \ cos x, \ quad 0 \ leq x \ leq \ pi / 2 $
Mi használjuk a 6. jellemző határozott integrálok. Az átlagos értéke $ f (x) $ intervallumban $ [a, b] $ h A hívott szám $ f (c) = \ frac \ int \ limits_a ^ bf (x) \, dx. $
Úgy becsüljük, az integrandus:
$$ - 1 \ leq \ sin x \ Leq 1 \ Rightarrow $$ $$ 3 \ Leq 5 + 2 \ sin x \ Leq 7 \ Rightarrow $$ $$ \ sqrt 3 \ leq \ sqrt \ Leq 7 \ Rightarrow $$ $ $ \ frac \ leq \ frac> \ leq \ frac. $$
Ebből és a második tulajdonság határozott integrálok az következik, hogy
6.370. b) Értékelje a szerves $ \ int \ limits_0 ^ 1 \ sqrt \, dx, $ a Cauchy-Schwarz-egyenlőtlenség.
Kiszámítjuk minden egész helyzetben volt a gyökere a jobb oldalon az egyenlet:
6374. Find a származék a következő függvény: $ \ Phi (x) = \ int \ limits_0 ^ x \ frac \, dt $.
A tulajdonságok használatával 10:
6376. Find a származék a következő függvény: $ \ Phi (x) = \ int \ limits_x ^ 0 \ frac> $.