interpolációs függvények
A fő kérdések az előadásban:
1. Alapvető fogalmak interpoláció, a probléma, ami a közelítése funkciók, geometriai jelentését interpoláció
2. Lagrange interpolációs polinommal
3. rendszer Aitken
4. Egy hiba becslése Lagrange interpolációs képlet
5. véges differenciák
6. Newton interpolációs képletű
§ első Newton interpolációs képletű
§ második Newton interpolációs képletű
7. értékelése az első és a második hiba Newton interpolációs képlet
8. Fordított interpoláció
9. Spline interpoláció
- Alapfogalmak interpolációs problémák, ami a közelítés funkció
Interpoláció (a latin interpoláció -. Változás, igazítást) - matematika és statisztika, az értékének meghatározása a köztes értékeket bizonyos ismert értékeit [Sov. Enciklopédikus szótár].
Okozó problémák közelítéséről funkciók a következő. Ismert értékek az f (x) a pontokon x1. x2. xn; helyre kell állítania az értékét másik.
Interpoláló polinomiális továbbító tulajdonságainak f (x) kerül kialakításra formájában:
Pn (x) = c1 # 966; 1 (x) + c2 # 966; 2 (x) +. + cn # 966; n (x), ahol a # 966; 1 (X), # 966; 2 (x). # 966; n (x) - egy osztály a lineárisan független funkciókat is, ahol Pn (xi) = f (xi), i = 1, 2 n.
Így, Pn (x) f (x).
Point x1. x2. xn nevezzük interpolációs pontokat.
· Lagrange interpolációs polinommal
Tegyük fel, hogy az érték a f (x) a (n + 1) pont X0. x1. xn. Ezután a Lagrange polinom továbbító tulajdonságainak az f (x), felírható:
Aitken rendszerébe kényelmesebben forma megtalálása a Lagrange polinom.
Az alapötlet ez a módszer a következő.
Az első szakaszban kiszámítjuk polinomok L0,1 (x), L1,2 (x). Ln-1, n (x), épített mindegyik pár szomszédos csomópontok 0,1; 1,2; :; n-1, n rendre.
Ugyanakkor. . .
Így a polinomok épített két szomszédos csomópont számítják képletek szerint.
Ezután, ezek alapján polinomok számítjuk polinomok épített a tripletek a szomszédos csomópontok :.
Stb amíg nem kap egy polinom épül az összes csomópont az interpoláció :.
Az eredményül kapott polinom L0, 1. n (x) Ln (x).
· Hibabecslés Lagrange interpolációs képlet
Van yj = f (xj), Ln (x). Ln (x) polinomot úgy van kialakítva, hogy a Ln (xj) = f (xj).
Kiszámítása a hiba Rn (x), így: Rn (x) = f (x) - Ln (x). Akkor szerezze be a következő képletet becslési hiba Lagrange interpoláció képlete:
Az ilyen értékelés csak akkor lehetséges, ha tudod, az analitikus kifejezés f. Ha f meghatározott táblázatos formában, a származékok helyébe véges különbségek.
· Newton interpolációs képlet
1. A polinom foka nem haladja n.
Formula Pn (x) az első Newton interpolációs képlet a következő :.
ahol q = (X - x0) / h.
Newton első interpolációs képlet használható, ha x az elején a táblázat. Aztán, ahogy x0 kell venni hamarosan elhagyta egy adott x táblázati érték.
- A második Newton interpolációs képletű
Ha egy argumentum értéket közelebb van a végén az interpolációs intervallumban, tegyen egy első interpolációs képlet veszteségessé válik.
Erre a célra a második Newton interpolációs képlet.
ahol q = (X - xn) / h.
Itt is, mint xn kell tenniük a közvetlen jogot, hogy egy adott x táblázati érték.
· Értékelése hibák az első és a második Newton interpolációs képlet
Használata helyett q = (X - x0) / h és q = (X - xn) / h, és helyettesítjük megfelelő expressziós Pn + 1 (x) általános képletű becslési hiba Lagrange-interpoláció képletű, megkapjuk a képlet becslésére interpolációs hiba az első és második Newton interpoláció képletű, rendre:
.
.
A probléma a fordított interpoláció a következő. Ha az értékek yi> A táblázatban szereplő növekvő sorrendben vagy csökkenő sorrendben, az y = f (x) monoton a [x0. xn], és ugyanazt a táblázatot is értelmezhető, mint a beállítás diszkrét módon egy funkció x = # 966; (y). az inverz függvény y = f (x). Mert ez a visszajelzés funkció is, amelynek feladata interpoláció: találni egy értéket x * egy előre meghatározott érték y *.
Hagyja, xi> egyenlő távolságra elhelyezkedő csomópontok a parttól h egymástól és épített egy Newton polinomok (bizonyosság - az első).
Megoldása során a fordított probléma, interpoláció segítségével polinom a bal oldalon van az ismert értéke y *. és a képlet maga válik egy algebrai egyenlet vonatkozásában x. Ha a számok yi> növekvő vagy csökkenő sorrendben, ez az egyenlet van egy egyedi megoldást [x0. xn].
Döntését kell kérni bármelyik korábban vizsgált módszerek nemlineáris egyenletek.
A mi esetünkben, a legtermészetesebb módon, hogy megoldja a egyenlet egyszerű iteráció.
Mi helyettesítheti y = y * a fenti képletben, és átalakítani a kapott egyenlet formájában.
Ez az egyenlet a következő szerkezeti = x # 966; (x). azaz típus alkalmas módszer alkalmazásával egyszerű iteráció.
Ez első megközelítésben tudunk venni x érték (0) = xi. közel a kívánt * x. A kezdeti közelítését x (0). Készítünk egy iteratív folyamat megoldására a kapott egyenlet, amíg a megadott pontosság érhető el:
A nagyszámú interpolációs pontokat erősen mértékben Interpoláló polinomok növekszik, ami számukra kellemetlen számítások.
Ebben az esetben célszerű, hogy egy speciális típusú szakaszonként polinom interpoláció - spline interpoláció.
Ennek lényege a következő megközelítés.
Definíció. Legyen a [a, b] oszlik meg n pontok részleges szegmensek [xi. xi + 1], i = 0, 1 n-1. M-annak érdekében, spline függvény nevezzük Sm (x). a következő tulajdonságokkal:
1) Sm funkció (x) folytonos a [a, b], valamint azok származékai akár egy bizonyos sorrendben p.
2) minden intervallumban [xi. xi + 1] funkció egybeesik néhány algebrai mnogochlenomPm, i (x) foka m.
A különbség m - p mértéke között a legmagasabb rendű a spline és folyamatos az [a, b] az úgynevezett származékot hiba spline.
Úgy véljük, spline, a defektus, amely 1.
A legszélesebb körben használt köbös spline S3 (x).
Így interpoláló spline kialakításához szükséges oly módon, hogy az S (xi) = yi. i = 0, 1 n.
A definíció szerint egy spline felírható:
ahol minden egyes P 3, i (x) - a harmadik fokú polinom :.
Az együtthatók ai = yi.
Belátható, hogy a ci együtthatókat képletek alapján számítandó :.
Kiszámításához az együtthatók di alkalmazunk képlet.
Kiszámításához a bi - formula.