Interpoláció funkciók - Matematika

4. A Newton osztott különbségek

5. Spline interpoláció

Célkitűzés: tanulmányozása és összehasonlító elemzés a módszerek interpolációs funkciók; ezek megvalósítása módszerek formájában számítógépes programok magas szintű nyelvi és gyakorlati problémák megoldásához interpolációs a számítógépen.

A szoftver fejlesztése a CAD gyakran kell foglalkozni a az f (x), mivel a táblázatok formájában, vagyis a véges értékek az érvelés és a megfelelő függvény értékei. Az analitikai függvénykifejezést f (x) nem ismert, hogy nem teszi lehetővé, hogy meghatározzuk az értékeket a közbenső pontok az érvelés hiányoznak a táblázatban. Ebben az esetben, a probléma megoldódik interpolációt, ami az alábbiak szerint történik.

Az [a, b] n + 1 adott pontot x0. x1. xn. úgynevezett interpolációs csomópontok és az értékek az egy f (x) ezeken a pontokon f (x0) = y0. f (x1) = y1. f (xn) = yn. Felépítéséhez szükséges az interpolációs függvény F (x), az interpoláció csomópontok fogadó jelentése ugyanaz, mint az f (x), azaz oly módon, hogy F (x0) = y0. F (x1) = y1. F (xn) = yn.

Geometriailag ez azt jelenti, hogy meg kell találni a görbe y = f (x) egy bizonyos típusú, amely áthalad egy adott Mi (XI. Yi) pontrendszer i =. Az így kapott interpoláció képletű y = f (x) rendszerint kiszámításához használt kiindulási értékeit az f (x) értékek az x argumentumot, az interpolációs eltérő csomópontok. Ezt a műveletet nevezzük interpolációs függvény f (x). Különbséget interpolált a szűkebb értelemben vett, amikor x tartozik, az [x0. xn] és extrapoláció, ha x nem tartozik ezen az intervallumon.

Az ilyen általános kijelentés az interpolációs probléma lehet egy végtelen számú megoldást. Ahhoz, hogy egy F (x), azt kell feltételezni, hogy ez a funkció nem önkényes, és kielégíti bizonyos további feltételeket.

A legegyszerűbb esetben azt feltételezzük, hogy a kapcsolat az y = f (x) minden intervallum (xi. Xi + 1) lineáris. Ezután minden egyes szegmens (xi. Xi + 1), mint interpoláció képletű y = f (x) egyenlet alkalmazásával a vonal ponton áthaladó Mi (XI. Yi) és Mi + 1 (xi + 1 Yi + 1), amely kilátás

Ha a programozás, lineáris interpolációs eljárásokat kell venni, hogy a folyamat a probléma megoldásának interpolációs képlet alkalmazásával (1) közé két lépésben történik: kiválasztás intervallum (xi xi + 1), amely rendelkezik az értéke az érv x; ténylegesen érték kiszámításakor a y = f (x) általános képletű (1).

A gyakorlatban, mint az interpolációs függvény F (x) általában használt polinomok

mértéke nem haladja meg az n, oly módon, hogy a Pn (x0) = y0. Pn (x1) = y1. Pn (xn) = yn. A legtöbb ismert módszerek felépítésének interpoláló polinom Pn (x) a Lagrange módszer, iteratív és differencia módszerek.

1. Lagrange képletű

Lagrange interpolációs képlet lehetővé teszi az építési egy algebrai polinom Pn (x) egy tetszőleges sor interpoláció csomópontok. Az n + 1 különböző értéket az érvelés x0. x1. Xn és a megfelelő értékek az f (x0) = y0. f (x1) = y1. f (xn) = yn Lagrange interpolációs képlet az űrlap

,

ahol x - a függvény értékét érv, található, az [x0. xn].

Meg kell jegyezni, hogy a Lagrange-féle képlet, ellentétben más interpolációs képlet egyértelműen tartalmazza yi (i =), néha fontos.

1. példa Construct Lagrange interpolációs polinom a funkció adott a következő táblázatban.

A esetében négy interpolációs pontokat (n = 3) Lagrange polinom képviseli a következőképpen:

Cseréje változó xi. yi (i =) azok numerikus értékek, megkapjuk egy interpolációs polinom

Lagrange interpoláció formula van társítva egy nagy térfogatú számítások, egy jelentős része, amely ismétlődik a készítmény több Pn (x) érték egyetlen f (x). Abban az esetben, ha a Lagrange képlet használható beszerezni több értékeinek függvényében különböző értékei az érvelés, akkor lehetséges, hogy jelentősen csökkenti a számítás. Erre a Lagrange képletű képviseletében a

ahol - Lagrange együtthatók, definiált

Kiszámítása Lagrange együtthatók hajtjuk végre a következő módon, kényelmes, ha a számítógép segítségével. A táblázat különbségek:

Artwork elemek i-edik sorának jelöljük Ki. Ezért Lagrange együtthatók kiszámítása az alábbi képlet szerint

ahol Pn + 1 (x) = (X - x0) (x - x1) ... (x - xn) - terméke az elemek a fő diagonális az asztal (ezeket az elemeket aláhúztuk). Akkor Lagrange-féle képlet formájában:

Képlet segítségével (2) lehetővé teszi, hogy csökkentsék a jelentős részét a számításokat, hogy meghatározza a Lagrange együttható Li (n) (x) különböző értékeire az érvelés. Ebből a célból, a termék az elemek i-edik sorának képviseli, mint a különbség táblázatot Ki = (X - xi) Di. ahol Di - a termék minden sorának kivételével található a fő átlós. Az érték Di (i =) nem függ az értéke a x argumentumot, és ki lehet számítani csak egyszer az adott funkciót.

Bővebben: interpolációs rendszer Aitken

Információk a munka „interpoláció funkciók”

Kategória: Matematika
Karakterek száma szóközökkel: 15031
Asztalok száma: 3
Képek száma 3