Alapvető módszerek integrációját, kiszámításához integrálok on-line, a integrálás
Meghatározása szerves határozott és határozatlan integrál, integrálok asztal, Alaptételének képlet, az integrálás, példákat a számítás az integrálok, kiszámítására integrálok on-line.
A határozatlan integrál
A F (x), differenciálható egy adott intervallumban X, úgynevezett primitív függvény f (x), vagy a beépített az f (x), ha bármely x ∈X egyenlőség:
Megtaláljuk a primitívek Ennek a funkciónak nevezzük az integráció. Határozatlan integrál függvény f (x) egy adott intervallumban X jelentése a készlet minden primitívek funkciók az f (x); jelölés -
Ha F (x) - bármely pervobraznaya számára az f (x), akkor ∫ f (x) dx = F (x) + C, (8.2)
ahol c egy tetszőleges konstans.
integrálok táblázat
Közvetlenül a meghatározás megkapjuk az alapvető tulajdonságait a határozatlan integrál és a lista táblázata integrálok:
3) ∫af (x) dx = a∫f (x) dx (a = const)
4) ∫ (f (x) + g (x)) dx = ∫f (x) dx + ∫g (x) dx
List táblázatos integrálok
1. ∫x m dx = x m + 1 / (m + 1) + C; (M ≠ -1)
3.∫a x dx = a x / ln A + C (a> 0, a ≠ 1)
4.∫e x dx = e x + C
5.∫sin x dx = cosx + C
6.∫cos x dx = - sin x + C
7. = arctg x + C
8. = arcsin x + C
Cseréje változó
Az integráció számos funkciót használni a módszert a változó módosítása, vagy helyettesítő, segítségével a készülék táblázatos integrálok.
Ha az f (z) folytonos [α, β], a függvény z = g (x) az [a, b] folyamatos származék és α ≤ g (x) ≤ β, majd
∫ f (g (x)) g „(x) dx = ∫f (z) dz, (8,3)
ahol, miután az integráció a jobb oldalon kell, hogy a helyettesítési z = g (x).
Elegendő, hogy írjon az eredeti integrál formájában:
∫ f (g (x)) g „(x) dx = ∫ f (g (x)) dg (x).
A módszer a integrálás
Legyen u = f (x) és v = g (x) - egy függvény, amelynek folyamatos származékok. Ezután a szabály alapján kell különbséget egy termék,
d (uv)) = UDV + VDU vagy UDV = d (UV) - VDU.
Kifejezésére d (uv) primitív, nyilván, akkor uv, így már a képlet:
∫ UDV = UV - ∫ VDU (8.4.)
Ez a képlet fejezi ki a jogállamiság integrálás. Ez vezet az integráció kifejezést UDV = uv'dx az integrálódó expressziós VDU = vu'dx.
Tegyük fel például, meg akarja találni ∫xcosx dx. Legyen u = x, dv = cosxdx, úgyhogy du = dx, v = sinx. majd
∫xcosxdx = ∫x d (sin x) = x sin x - ∫sin x dx = x sin x + cosx + C.
A szabály az integrálás korlátozottabb körét, mint a változás változó. De vannak egész osztályok integrálok, például
∫x k ln m xdx, ∫x k sinbxdx, ∫ xk cosbxdx, ∫x K e ax és mások, amelynek kiszámítása integrálás.
A határozott integrál
A koncepció egy határozott integrál kerül bevezetésre a következő. Legyen a [a, b] definiál egy f (x). Osszuk a [a, b] n darab rámutat a = x0
A f (x) ebben az esetben az úgynevezett integrálható a [a, b], A és B nevezzük az alsó és felső határa az integrál.
A határozott integrál már a következő tulajdonságokkal rendelkezik:
4), (k = const, k∈R);
Az utóbbi tulajdonságot nevezzük a középérték tétel.
Legyen f (x) folytonos az [a, b]. Aztán ott van a határozatlan integrál ezen intervallum
∫f (x) dx = F (x) + C
és mi van a képlet Alaptételének. cvyazyvayuschaya határozott integrál bizonytalan:
Geometriai értelmezése: határozott integrál az a terület, amely a görbe trapéz által határolt felső görbe y = f (x), X = közvetlen és X = b, és a szegmens Ox tengelyen.
helytelen integrálok
Integrálás végtelen határértékek és integrálja folyamatos (határtalan) függvények helytelen. Helytelen integrálok I. típusú - szerves része a végtelen intervallum meghatározása a következő:
Ha ez a határérték van egy véges, az úgynevezett konvergens helytelen szerves f (x), az [a, + ∞), és az f (x) nevezzük integrálható egy végtelen [a, + ∞). Ellenkező esetben a szerves azt mondják, hogy nem létezik, vagy elágazik.
Hasonlóképpen nem megfelelő integrálok kerülnek meghatározásra időközönként (-∞, b] és (-∞, + ∞):
Mi határozza meg a koncepció az integrál határtalan funkciót. Ha f (x) folytonos minden értékére x [a, b], kivéve a c pont, ahol f (x) van egy végtelen rés, a nem megfelelő szerves II fajta f (x) a tartományban tól b-ig az összege:
Ha ezek a korlátozások vannak érvényben, és véges. megnevezése:
Példák a kiszámítása integrálok
Példa 3,30. Számítsuk ∫dx / (x + 2).
Határozat. Legyen t = x + 2, akkor dx = dt, ∫dx / (x + 2) = ∫dt / t = ln | t | + C = ln | x + 2 | + C.
Példa 3,31. Keresse ∫ tgxdx.
Határozat. ∫ tgxdx = ∫sinx / cosxdx = - ∫dcosx / cosx. Legyen t = cosx, akkor ∫ tgxdx = -∫ dt / t = - ln | T | + C = -ln | cosx | + C
Primer3.32. Keresse ∫dx / sinx
Primer3.34. Keresse ∫arctgxdx.
Határozat. Mi integrálja a részek. Jelölje u = arctgx, dv = dx. Ezután du = dx / (x 2 +1), v = x, ahol ∫arctgxdx = xarctgx - ∫ xdx / (x 2 +1) = xarctgx + 1/2 ln (x 2 +1) + C; mert
∫xdx / (x 2 +1) = 1/2 ∫d (x 2 +1) / (x 2 +1) = 1/2 ln (x 2 +1) + C.
Primer3.35. Számolja ∫lnxdx.
Határozat. Alkalmazása a integrálás, kapjuk:
u = LNX, dv = dx, du = 1 / x dx, v = x. Ezután ∫lnxdx = xlnx - ∫x 1 / x dx =
= Xlnx - ∫dx + C = xlnx - x + C.
Primer3.36. Számítsuk ∫e x sinxdx.
Határozat. Jelöljük u = e x. dv = sinxdx, majd du = e x dx, v = ∫sinxdx = - cosx → ∫ e x sinxdx = - e x cosx + ∫ e x cosxdx. Integral ∫e x cosxdx is integrálódni részből áll: u = e x. dv = cosxdx, du = e x dx, v = sinx. Van:
∫ e x cosxdx = e x sinx - ∫ e x sinxdx. Ratio kapott ∫e X sinxdx = - e x cosx + e x sinx - ∫ e x sinxdx, ahol 2∫e x sinx dx = - e x cosx + e x sinx + C
Primer3.37. Számítsuk J = ∫cos (lnx) dx / x.
Határozat. Mivel dx / x = dlnx, akkor J = ∫cos (lnx) d (LNX). Cseréje LNX keresztül t, eljutunk a táblázatos szerves J = ∫ costdt = sint + C = sin (lnx) + C.
Primer3.38. Számítsuk J =.
Határozat. Tekintettel arra, hogy = d (LNX), termelő a helyettesítési lnx = t. Ezután J =.
Primer3.39. Számítsuk ki a szerves J =.
Primer3.40. Lehetséges, hogy alkalmazza a Newton-Leibniz formula az integrál?
Határozat. Nem, nem tudsz. Ha hivatalosan kiszámítja a fenti integrál Newton-Leibniz formula, megkapjuk helytelen eredmény. Valóban, =.
De az integrandus függvény f (x) => 0, és ezért a szerves nem lehet negatív szám. Döntő az abban a tényben rejlik, hogy az integrandus f (x) = végtelen diszkontinuitás az x = 4 tartozó intervallum integráció. Következésképpen itt Alaptételének képlet alkalmazható.
Primer3.41. Számoljuk ki a integrál.
Határozat. A integrandus meghatározott és folyamatos az összes x értékei, és ezért van egy primitív F (x) =.
A definíció szerint van: =.
A képlet szerint Alaptételének,
Kiszámítása integrálok on-line
Szabályzat bemeneti funkciók: sqrt (x) - négyzetgyök, Cbrt (x) - köbgyök, exp (x) - kitevő, ln (x) - természetes logaritmus, sin (x) - sine, cos (x) - cos, tan (x) - tan, gyermekágy (x) - kotangensét, arcsin (x) - arkusz szinusz, arccos (x) - arkusz, arctan (x) - arkusz tangens. Jelmagyarázat: * szorzás / osztás ^ hatványozás helyett végtelenbe infty. Példa: A funkció bevitele oly sqrt (tan (x / 2)).
És ha az eredmény ablakban, kattintson a lépések megjelenítése a jobb felső sarokban kap részletes megoldást.