6. fejezet problémák megoldásához a lineáris algebra, optimalizálása és regresszió
A problémák megoldását a lineáris algebra, optimalizálás és a regressziós
Problémák a lineáris algebra, optimalizálása és regresszió - az egyik legnépszerűbb a tudomány, a technológia és az oktatás [37, 39-46]. Ezek a tárgya ebben a fejezetben. Ez ad alapmeghatározásait lineáris algebra, alapjait dolgozik tömbökkel, vektorok és mátrixok, függvények dolgozó vektorok és mátrixok és megoldani rendszerek lineáris egyenletek. A leírás eszközök optimalizálása, beleértve a legújabb Maple 10 rendszer.
Mielőtt rátérnénk a hatalmas lehetőségeit Maple csomagokat a megoldás lineáris algebra problémák, úgy a rövid azok meghatározását.
A mátrix (m × n) - dimenziós téglalap alakú asztal, amelynek m sorból és n oszlopból elemek, amelyek mindegyike lehet egy szám reprezentál, állandó, változó vagy szimbolikus matematikai kifejezést (széles értelmezése mátrix).
Egy négyzetes mátrix - mátrix, amelyben a m számú sorok számával megegyező n oszlopok. Példa négyzetes mátrix mérete 3 × 3:
A meghatározója a mátrix - egy polinomiális az elemek egy négyzetes mátrix, minden egyes tagja, amely a termék n vett elemek egyesével minden sorban és minden egyes oszlopban a jel a termék, adja meg a paritás permutációs:
ahol M1
Egyes szám (degenerált) mátrix - négyzetes mátrix, amelynek meghatározója (determinánsa) 0. Ilyen mátrix általában nem egyszerűbbé szimbolikus számítások. Lineáris egyenletek szinte egyedülálló mátrixok képes jelentős hibákat a megoldást.
Az identitás mátrix - egy négyzetes mátrix, amelynek diagonáiis elemeit értéke 1, és a maradék elemek értéke 0. A következő az identitás mátrix 4 × 4:
A szinguláris értékek a mátrix - a négyzetgyökei sajátértékei a mátrix transzponáltja (A) # 8729; A, ahol a transzponálás (A) - átültetett mátrix A (lásd az alábbi definíciókat is.).
Az átültetett mátrix - mátrix, amelynek sorokat és az oszlopokat felcseréljük, azaz az átültetett mátrix elemek kielégítik azt a feltételt A T (i, j) = a (j, i). Itt egy egyszerű példa.
A fordított mátrix - mátrixát M-1. amely, amikor megszorozva az eredeti négyzetes mátrix M ad az identitás mátrix E.
A lépcsős alakja a mátrix megfelel annak a feltételnek, ahol az első nem nulla elemet minden sorban értéke 1, és az első nem nulla elem úgy tűnik, hogy a jobb minden sor az első nemnulla eleme az előző sorban, azaz minden elem alatt egy első nemnulla sor - nullák.
Diagonális mátrix - elrendezett átlós elemek Ai, i a mátrix A. Az alábbi mátrix diagonális elemeit képviselik nagybetűkkel:
Általában a fenti átlós nevezett fő diagonális - a mátrix Egy, a fenti, diagonális elemeit A, E és L. néha bevezette a poddiagonaley (elemek d, k) és naddiagonaley (komponensek B és F). Mátrix, amelynek elemeit minden elrendezve, kivéve az átlós, és subdiagonal naddiagonali nulla, az úgynevezett szalagos.
A rangsorban a mátrix - a legnagyobb a megrendelések nulla kiskorúak négyzetes mátrix.
Trace a mátrix - összege az átlós elemek.
A mátrix a teljes mértékben - négyzetes mátrix fokban n (n - nem negatív egész) meghatározása a következő: E = M0. M1 = M. M2 = MM, ..., Mn = Mn-1M.
Idempotens mátrix - mátrix megfelelő állapotban R = F.
A szimmetrikus mátrix - mátrix feltételnek megfelelő A = Am.
Ferdén szimmetrikus mátrix - mátrix megfelelő állapotban Am = -A.
Ortogonális mátrix - mátrix feltételnek megfelelő A = Am-1.
Nulla mátrix - mátrix, amelynek elemei mind egyenlő 0.
Blokk mátrix - mátrix összetétele a mátrixok kisebb méretű, is jellemezhető, mint egy mátrix, ahol minden egyes elem - mátrix. Egy konkrét esetben egy blokk diagonális mátrix - mátrix blokk, amelynek az elemeit a mátrix diagonális - null mátrix.
Komplex-konjugátum mátrix - mátrix # 256;. származó eredeti mátrix helyett annak elemei a konjugált komplex.
Hermitikus mátrix - mátrix kielégítő # 256; = Am.
A sajátvektor négyzetes mátrix - bármilyen vektor x ∈Vn. x ≠ 0 kielégíti a következő egyenletet Ax = # 947; s. ahol # 947; - a hívott szám sajátértéke A.
A karakterisztikus polinomja mátrix - meghatározója a különbség a mátrix és az identitás mátrix szorozva egy változó polinom - | A - # 947; E |.
Sajátértékek - a gyökerek a karakterisztikus polinommal.
Norma - általános fogalma abszolút értéke a számot.
Méretezett vektor normája || x || - a hossza.
Nyomnorma - értéket sup (|| Ax || / || x ||).
Mátrix alkotnak lineáris egyenletrendszer - expressziós A # 8729; X = B. ahol A - mátrix együtthatók, X - vektor az ismeretlenek, és B - vektor ingyenes tagok. Az egyik megoldási módja egy ilyen rendszer nyilvánvaló - X = A-1 # 8729; A. ahol A 1 - fordított mátrixba.
Mint tudod, a szokásos lineáris egyenletrendszer a következő formában:
Itt a1,1. a1,2. ..., egy, n - tényezők, amelyek alkotják az A mátrix, és amely lehet valós vagy komplex értékek, x1. x2. ... HN ismeretlen, így egy X vektort és b1. b2. ..., bn - ingyenes tagok (valós vagy komplex) képző vektor V. Ez a rendszer lehet képviseli egy mátrixban formában Ax = B. ahol A - az együttható mátrixa az egyenletek, X - az ismeretlen vektor ismeretlenek, és B - vektor ingyenes tagok. Az ilyen képviselet lineáris egyenletrendszer eredő különböző módszerét oldat: X = B / A (a használata egy mátrix részlege), X = A-1B (fordított mátrix A), és így tovább.
Ennek során a problémák megoldásához a lineáris algebra gyakran kell használni a különböző módszerek, mint például a jól ismert, még az iskolából minánsok. Ahhoz azonban, hogy hatékonyan megoldani ezeket a problémákat meg kell, hogy képviselje a mátrix egy különleges módon, melyen a mátrix bomlik. Az ennek során meg kell dolgozni néhány speciális típusú mátrixok, amelyek gyakran jelentősen leegyszerűsíti a megoldás rendszerek lineáris egyenletek. Nézzük megemlíteni néhányat a leggyakoribb mátrix lebomlását, amelyek végrehajtása a legtöbb SKA és SCM.
LU-bomlás, más néven háromszög bomlás megfelel a mátrix expresszióját formájában P # 8729; A = L # 8729; U. ahol L - és az alsó U - felső háromszög mátrix. Minden mátrixok ezt a kifejezést a téren.
QR-bomlás formájában A = Q # 8729; R. ahol Q - egy ortogonális mátrixot, egy R - felső háromszög mátrix. Ez a növekedés gyakran használják megoldani minden lineáris egyenletrendszer, beleértve túlhatározott és aluldeterminált és egy derékszögű mátrix.
Bomlási HoletskogoA = L # 8729; LT felvisszük a szimmetrikus mátrix, ahol L - a háromszög alakú mátrixot.
A szinguláris érték felbontás a mátrix mérete M × N (M × N) a = U # 8729; s # 8729; VT. ahol U és V - ortogonális mátrix mérete N × N és M × M. illetve egy s - diagonális mátrix, amelynél a szinguláris értékek diagonális mátrix A.
Elemei vektorok és mátrixok Maple indexelt változó, azaz, a helyét minden egyes eleme a vektor által meghatározott az index és a mátrix - a két index. Általában ezek együttesen jelöljük i (mátrix sor számát vagy szekvencia a vektor elem számát) és a J (mátrix oszlop számát). Megengedett üzemi hívást a kívánt elemet, és egy új érték hozzárendelésével, hogy:
V [i] - hívja i-edik eleme az a vektor V;
M [i, j] - hívja M mátrix eleme elrendezve az i-edik sorának az j- edik oszlopra.
V [i]: = x - egy új érték hozzárendelésével x i-edik eleme az vektor V;
M [i, j]: = x - x egy új érték hozzárendelésével mátrixelem M.
Először is, meg kell figyelni, hogy az a tény, hogy a vektorok és mátrixok, bár hasonló a listákat, de nem teljesen azonosult velük. Ez látható a következő példák (fájl vmop), amelyben a típusú ellenőrzésére használják több típusú objektumok (vektorok és mátrixok)