Folytonosság funkciót - studopediya

A folytonosság a lényeg.

Funkciót. meghatározott szomszédságában egy pontot. Azt mondta, hogy a folyamatos ponton. ha a határérték a funkció és annak értékét ezen a ponton egyenlő legyen, azaz,

Ugyanezt a tényt felírható másképpen:

Ha a funkció határozza meg egy pontjának szomszédságában. de ez nem folyamatos a ponton. ez az úgynevezett szakaszos funkciót, és a lényeg - egy pont a diszkontinuitás.

Példa folytonos függvény:

Egy példa egy folytonos függvény:

A funkció az úgynevezett folyamatos a ponton. ha van bármilyen pozitív szám. hogy minden. feltételeknek eleget: az egyenlőtlenséget.

A funkció az úgynevezett folyamatos a ponton. ha a növekmény a funkciót végtelenül.

ahol - a infinitezimális.

Tulajdonságok folytonos függvények.

1) Összeg, különbség és a termék folytonos függvények pontjában - olyan funkció, amely folytonos a ponton;

2) a hányadosa két folytonos függvények - folytonos függvény, azzal a megkötéssel, hogy nem egyenlő nullával a ponton;

3) szuperpozíció folytonos függvények - egy folytonos függvény.

Ez a tulajdonság felírható a következőképpen:

Ha - folytonos függvény ezen a ponton. A funkció - szintén folytonos függvény ezen a ponton.

Érvényességét a fenti tulajdonságokat könnyen bizonyítani

A tétel a határértékeket.

Folyamatossága néhány elemi funkciókat.

1. Funkció. - folytonos függvény az egész tartományban.

2. A racionális függvény folytonos az összes értéket. kivéve azokat, amelyeknél a nevező nulla lesz. Ez a függvény az ilyen típusú folytonos saját domain.

3. A trigonometrikus függvények folytonosak a saját domain.

Lássuk be ingatlan 3 funkció.

Írunk a növekmény a funkciót. vagy transzformáció után:

Sőt, van egy határ, és a termék a két funkciót. Ebben az esetben a koszinusz függvény - korlátos függvény. valamint korlátozzák a szinusz függvényt. ez elenyészően kicsi, amikor.

Tehát van egy korlátozott kilépési munka egy végtelenül kicsi, ezért ezt a munkát, azaz funkció - elenyésző. A meghatározások szerint a fent tárgyalt, a funkciója - egy folytonos függvény bármelyik értéke a domain, mert A növekmény ezen a ponton - infinitezimális.

szünet pontok és azok besorolását.

Képzeljünk el egy funkciót. folyamatos a pontjának szomszédságában. kivéve talán épp ez. A pont a diszkontinuitás meghatározó funkció, hogy egy pont a diszkontinuitás, ha a funkció nincs meghatározva, ezen a ponton, hogy vagy nem folyamatos.

Azt is meg kell jegyezni, hogy a folytonosság a funkció lehet egyoldalú. Hadd magyarázzuk ezt a következőképpen.

Ha egyoldalú korlát (cm. Fent). akkor a függvény az úgynevezett folyamatos a jobb oldalon.

Egy pont az úgynevezett töréspont funkciót. Ha nem határozták meg azt a pontot vagy nem folytonos ezen a ponton.

Egy pont az úgynevezett egy pont diszkontinuitás 1- fajta. Ha ezen a ponton van egy véges, de nem egyenlő egymással balra és jobbra határok:

A feltételeknek ez a meghatározás nem szükséges funkció határoztuk meg egy pontot. elég, hogy ez határozza meg a bal és a jobb oldalon.

A lényeg az úgynevezett egy pont a diszkontinuitás a 2. fajta. Ha ezen a ponton a funkció nem éri el legalább az egyik egyoldalú határértékeket, vagy legalább egyikük végtelen.

1. példa. Dirichlet függvény (Peter Gustav Dirichlet (1805-1859) - német matematikus, levelező tagja Petersburg Tudományos Akadémia 1837)

Ez nem folyamatos bármikor x0.

2. példa. A függvény egy töréspontot a 2. típusú, mint .

A funkció nem meghatározott ponton. de van egy véges határérték. azaz A függvény egy pont diszkontinuitás az 1. fajta. Ez - az eldobható pont különbség miatt ha kiterjesztjük a funkció:

A grafikon ezt a funkciót:

Ez a funkció is nevezik - jel. Pontjában funkció nincs definiálva. mert bal- és jobboldali határértékek különbözőek, akkor a töréspont - az 1. fajta. Ha kiterjeszti a meghatározása a függvény ezen a ponton. üzembe. A függvény folytonos a jobb oldalon, ha tesz. A függvény folytonos a bal oldalon, ha tesz az egyenlő kakomu- akárhány más, mint 1 vagy -1, a funkció nem lesz folyamatos, se balra, sem jobbra, de minden esetben azonban lesz az 1. fajta különbség. Ebben a példában a pont a diszkontinuitás az 1. típusú nem távolítható el.

Így annak érdekében, hogy egy pont a diszkontinuitás az 1. típusú volt elkerülhető, az szükséges, hogy az egyoldalú korlátozza a jobb és a bal volt véges és egyenlő, és a funkciót lenne ezen a ponton nincs definiálva.

2.2. A folytonosság az intervallum és az intervallum.

A funkció az úgynevezett folyamatos az intervallum (intervallum). ha ez a folyamatos bármely pontján az intervallum (intervallum).

Nem igényel folyamatos végén a szegmens vagy intervallum igény csak egyirányú folytonos az intervallum, vagy intervallum végén.

Tulajdonságok funkciók folyamatos intervallumon.

Az ingatlan 1. (Első Weierstrass tétel (Veyershtrass Karl (1815-1897) - német matematikus)). A függvény folytonos az intervallum van határolva, ebben a szegmensben, azaz a szegmens állapot:

Ennek bizonyítéka az ingatlan azon a tényen alapul, hogy egy folytonos függvény ezen a ponton. határolt egy olyan környéken, és ha egy szegmens oszlik végtelen számú vonal szegmensek, amelyek „zsugorodik” pont. Ez létrehoz egy környéken pont.

Az ingatlan 2. A folytonos függvény az intervallumon. Tart maximum és minimum értékek.

Ie és létezik értékeket. hogy. . ahol:

Megjegyzés. Ezek a maximális és minimális értékek egy funkció veszi a szegmens többszöri (például -).

A különbség a legnagyobb és a legkisebb érték függvény az intervallumon nevű oszcilláció funkcióját egy intervallumot.

Az ingatlan 3. (Második Bolzano Cauchy-tétel). A folytonos függvény az intervallumon. Tart a szegmens minden érték két tetszőleges értékeket.

Az ingatlan 4. Ha a függvény folytonos címen. akkor van egy szomszédságában. amelyeken a funkciót megtartja jel.

Az ingatlan 5. (Az első tétel Bolzano (1781-1848) - Cauchy). Ha a funkció - folyamatos az intervallum és a végein a szegmens értékek ellentétes előjelű, akkor van egy belső pontja ebben a szegmensben, ahol.

A funkció az úgynevezett egyenletesen folytonos az intervallumon. ha bármilyen létezik olyan, hogy minden pontot és úgy, hogy az egyenlőtlenséget

egyenletes folytonossága ellentétben a „normális”, hogy minden ott saját. Ez nem függ. és a „normális” függ a folytonosság és.

Az ingatlan 6. Tétel Cantor (Cantor, Georg (1845-1918) - német matematikus). A függvény folytonos a zárt intervallumon egyenletesen folytonos rajta (ez a tulajdonság csak akkor érvényes, ha a szegmensek, hanem intervallumokat és fél időközönként).

A függvény folytonos az intervallumon. de ez nem egyenletesen folytonos, mert létezik olyan, hogy vannak olyan értékek és oly módon, hogy ï- tetszőleges számú, feltéve, hogy közel nulla.

Az ingatlan 7. Ha a funkció határozza meg, monoton és folytonos bizonyos intervallum, akkor az inverze is egyértelmű, monoton és folytonos.

6. példa. Fedezze fel a folytonosság funkció, és meghatározza, hogy milyen típusú break pontot, ha van ilyen.

a lényeg a folyamatos ponton a diszkontinuitás az 1. típusú

7. példa. Fedezze fel a folytonosság funkció, és meghatározza, hogy milyen típusú break pontot, ha van ilyen.

a lényeg a folyamatos ponton a diszkontinuitás az 1. típusú